A proporção áurea é uma proporção considerada a mais perfeita e harmoniosa desde os tempos antigos. Ele forma a base de muitas estruturas antigas, de estátuas a templos, e é muito comum na natureza. Ao mesmo tempo, essa proporção é expressa em construções matemáticas surpreendentemente elegantes.
Instruções
Passo 1
A proporção áurea é definida da seguinte forma: é a divisão de um segmento em duas partes que a parte menor se refere à maior da mesma forma que a parte maior se refere a todo o segmento.
Passo 2
Se o comprimento de todo o segmento for considerado como 1, e o comprimento da maior parte for considerado como x, então a proporção procurada será expressa pela equação:
(1 - x) / x = x / 1.
Multiplicando ambos os lados da proporção por x e transferindo os termos, obtemos a equação quadrática:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
etapa 3
A equação tem duas raízes reais, das quais estamos naturalmente interessados apenas no positivo. É igual a (√5 - 1) / 2, que é aproximadamente igual a 0, 618. Esse número expressa a proporção áurea. Em matemática, é mais frequentemente denotado pela letra φ.
Passo 4
O número φ tem várias propriedades matemáticas notáveis. Por exemplo, mesmo a partir da equação original, é visto que 1 / φ = φ + 1. De fato, 1 / (0, 618) = 1, 618.
Etapa 5
Outra maneira de calcular a proporção áurea é usar uma fração infinita. A partir de qualquer x arbitrário, você pode construir sequencialmente uma fração:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
etc.
Etapa 6
Para facilitar os cálculos, esta fração pode ser representada como um procedimento iterativo, no qual para calcular a próxima etapa, você precisa adicionar um ao resultado da etapa anterior e dividir um pelo número resultante. Em outras palavras:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Este processo converge e seu limite é φ + 1.
Etapa 7
Se substituirmos o cálculo do recíproco pela extração da raiz quadrada, ou seja, realizamos um loop iterativo:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), então o resultado permanecerá inalterado: independente do x inicialmente escolhido, as iterações convergem para o valor φ + 1.
Etapa 8
Geometricamente, a proporção áurea pode ser construída usando um pentágono regular. Se desenharmos duas diagonais que se cruzam, cada uma delas dividirá a outra estritamente na proporção áurea. Esta observação, de acordo com a lenda, pertence a Pitágoras, que ficou tão chocado com o padrão encontrado que considerou a estrela de cinco pontas correta (pentagrama) um símbolo divino sagrado.
Etapa 9
As razões pelas quais é a proporção áurea que parece a uma pessoa mais harmoniosa são desconhecidas. No entanto, experimentos confirmaram repetidamente que os sujeitos que foram instruídos a dividir o segmento em duas partes desiguais da maneira mais bela o fazem em proporções muito próximas da proporção áurea.
